Главная страница
Навигация по странице:

  • Задачи Дирихле и Неймана в круге .

  • Замечание .

  • Интеграл Пуассона .

  • Задача Дирихле в кольце .

  • Тема 4 испр. Тема Краевые задачи для уравнения Лапласа


    Скачать 0.83 Mb.
    НазваниеТема Краевые задачи для уравнения Лапласа
    АнкорТема 4 испр.doc
    Дата08.05.2018
    Размер0.83 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаТема 4 испр.doc
    ТипДокументы
    #5030

    Тема 4. Краевые задачи для уравнения Лапласа.

    План.

    1. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Формула Грина

    2. Свойства гармоничных функций.

    3. Примеры решения внутренних и внешних краевых задач для урав­нения Лапласа.

    4. Теория потенциала.


    1. В последующих четырех темах рассмотрим особенности решения различ­ных типов уравнений в частных производных. Начнем анализ с уравнений эллиптического типа. Простейшими их представителями являются уравнения Лапласа

      (4.1)
    и Пуассона

      (4.2)
    Необходимость решения уравнений (4.1) и (4.2) связана с исследованием стационарных процессов (стационарное распределение тепла, задачи электростатики, обтекание тел в жидкости и т. д.).

    Рассмотрим частные случаи уравнения Лапласа для систем, обладающих цилиндрической или сферической симметрией. В случае сферической симметрии искомая функция зависит только от расстояния от исследуемой точки до начала координат. Тогда уравнение (5.1) принимает вид:

      (4.3)
    Последовательно интегрируя уравнение (5.3), получим:



    Полагая имеем

      (4.4)
    Функция (4.4) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки и называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве.

    В задачах с осевой симметрией уравнение (4.1) принимает вид:

      (4.5)
    Выполняя преобразования, аналогичные проделанным для (4.3), получим решение уравнения (4.5) в виде:

      (4.6)
    Функцию (4.6) называют фундаментальнымрешениемуравненияЛапласанаплоскости.

    Рассмотрим физическую интерпретацию фундаментальных решений уравнения Лапласа. Можно показать, что выражение (4.4) описывает распределение потенциала электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, помещенным в начало координат. Действительно, если точеный заряд поместить в начало координат, то потенциал электростатического поля будет определяться .

    В такой модели объемная плотность сосредоточенного точечного заряда должна описываться дельта-функцией:

      . (4.7)
    Тогда из известного уравнения для потенциала электростатического поля следует:

    .

    Таким образом, фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве является обобщеннымрешениемуравненияПуассона

      (4.8)
    во всем пространстве

    Аналогичным образом можно показать, что фундаментальное решение (4.6) описывает распределение потенциала электростатического поля в пустоте, создаваемого равномерно заряженной бесконечно протяженной нитью с линейной плотностью электрического заряда . То есть, функция является обобщеннымрешениемуравненияПуассона

      . (4.9)
    Важное место при изучении эллиптических уравнений занимают формулы Грина, являющиеся следствием теоремы Остроградского-Гаусса:

      (4.10)
    Пусть векторное поле имеет вид:

    тогда

      (4.11)
    Рассмотрим правую часть (4.10):

      (4.12)
    Подставляя (4.11) и (4.12) в (4.10), получим:

      (4.13)
    Соотношение (4.13) называется формулойГрина.

    Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения. Пусть имеется некоторый объем , ограниченный поверхностью . Точка - фиксированная точка объема , точки и - произвольные точки, принадлежащие объему и поверхности .
    Обозначим через - расстояние между точками и , - расстояние между точками и ,

    Пусть есть решение уравнения Пуассона

      (4.14)
    а функция - фундаментальноерешениеуравненияЛапласа, являющееся обобщением решения уравнения

    Подставляя функции и в формулу Грина (4.13), запишем:



    Используя свойства - функции



    запишем

      (4.15)
    Соотношение (4.15) устанавливает связь между значением функции в любой выбранной точке и значениями функции и ее производной вдоль внешней нормали к поверхности . Соотношение (4.15) называют интегральнойформулойГрина.

    Обозначая через и значения и на поверхности , перепишем интегральную формулу Грина в виде суммы трех слагаемых:

      (4.16)
    где
    Функции и носят название объемного потенциала, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя.

    Аналогичное соотношение может быть получено для решения уравнения Пуассона на плоскости в области , ограниченной контуром :

      (4.17)
    Функция

      (4.18)
    называется логарифмическимпотенциалом.
    2. Функцию, непрерывную в некоторой области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармонической.

    Для установления свойств гармонических функций воспользуемся формулой Грина (4.13) и интегральной формулой Грина (4.15).

    1. Если функция - гармоническая в области , то

      (4.19)
    Для доказательства соотношения (4.19) воспользуемся формулой (4.13). Положим . Тогда Поскольку - гармоническая функция, то по определению Тогда формула Грина принимает вид:



    В результате мы получаем (4.19).

    2. Формула среднего значения. Пусть - гармоническая функция в области . Полагая функцию , запишем выражение (4.15) в виде:

      (4.20)
    Пусть область представляет собой шар радиуса с центром в точке Введем сферическую систему координат с центром . Тогда на сфере



    Тогда выражение (4.20) принимает вид:



    Учитывая (4.19), перепишем последнее выражение в виде:

      (4.21)
    Правая часть формулы (4.21) представляет собой среднее значение функции на сфере. Из (4.21) следует, что среднее значение гармонической функции на сфере равно ее значению центре сферы. Соотношение (4.21) называют формулойсреднегозначениягармоническойфункции.

    3. Принцип максимального значения. Если функция непрерывна в замкнутой области (включая поверхность ) и гармонична в объеме , то она достигает своего экстремального значения на поверхности .

    Очевидно, что функция достигает своего максимального значения либо внутри объема , либо на поверхности . Воспользуемся методом доказательства от противного. Пусть функция достигает максимального значения во внутренней точке объема .

    Обозначим через множество всех точек области , для которых . Так как в общем случае , то множество не совпадает с , и у множества существует граничная точка , являющаяся внутренней для . Тогда из непрерывности функции следует .

    Построим сферу с центром в точке радиуса таким образом, чтобы на этой сфере имелась хотя бы одна точка , не принадлежащая множеству .

    Поэтому Тогда

      (4.22)
    с другой стороны, для гармонической функции из (4.21) следует



    Последнее равенство противоречит (4.22), откуда вытекает принцип максимального значения.

    Из принципа экстремального значения вытекают еще три свойства гармонической функции.

    4. Если гармоническая в области функция удовлетворяет на границе области условию , то она удовлетворяет этому условию и внутри области .

    5. Если гармоническая в области функция принимает на границе области постоянное значение, то она постоянна и во всей области . Так, если , то в .

    6. Если функции и гармоничны в области , то выполнение на границе области неравенства влечет за собой выполнение этого неравенства и внутри области .
    3. Краевые задачи для уравнения Лапласа могут быть решены двумя основными способами: методом разделения переменных и методом функций Грина. Метод разделения переменных был подробно рассмотрен в предыдущей теме. Поэтому наибольшее внимание уделим методу функций Грина.


    Решение задач 45 и 46 определяется с точностью до произвольной постоянной

    Функцией Грина для задачи Дирихле назовем функцию , которая является обобщенным решением краевой задачи:

    (4.23)

    Так как функция Грина имеет особенность вида , то ее можно представить в виде



    где - гармоническая функция краевой задачи



    Запишем формулу Грина (4.13), в которой функция есть искомое решение задачи Дирихле (4.), а функция :

    (4.24)

    Учитывая, что , , а в области и из формулы (4.24) получаем

    .

    Отсюда, используя свойство дельта-функции, находим

    (4.25)

    Эта формула делает решение задачи Дирихле в любой точке , если известна функция Грина для этой задачи.

    Используя определение функции Грина (4.23), дадим следующую электростатическую интерпретацию функции Грина для задачи Дирихле.

    Пусть точечный заряд помещен в точку внутри проводящей заземленной поверхности . Функцию Грина можно интерпретировать как потенциал поля, создаваемое точечным зарядом , помещенным в точку внутри поверхности . Потенциал этого поля складывается из потенциала поля точечного заряда и потенциала поля, создаваемого индуцированными (наведенными) на поверхности зарядами противоположного знака. Такая электростатическая аналогия позволяет построить функцию Грина для областей простой формы (полупространство, шар, слой), используя решение задач электростатики.
    Приведем примеры решения задач Дирихле методом функцииГрина.

    Задача Дирихле для полупространства. Найти решение краевой задачи

    (4.26)

    В этой задаче поверхность представляет собой плоскость , которую можно замкнуть в бесконечности. Для нахождения функции Грина воспользуемся электростатической аналогией. Если вблизи заземленной проводящей плоскости расположен заряд , то потенциал электростатического поля в области можно найти, поместив в точку отрицательный заряд . Поскольку потенциал искомого поля будет равен сумме потенциалов, создаваемых этими двумя зарядами, функцию Грина определим как

    , (4.27)

    где ; . Очевидно, что на поверхности а поэтому .

    Найдем производную функции по внешней нормали поверхности (?????????):



    Тогда согласно (4.25) решение задачи Дирихле для полу пространства имеет вид

    (4.28)

    Интеграл в правой части уравнения (4.28) называют интеграломПуассонадляполупространства.

    Третья краевая задача. Рассмотрим внутреннюю краевуюзадачу для уравнения Лапласа с граничным условием третьего рода

    (4.29)

    где .

    Пусть область представляет собой круг радиуса , ограниченный окружностью . Тогда задача (4.29) в полярных координатах будет иметь вид


    (4.30)
    (4.31)

    Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде

    . (4.32)

    Подставляя предполагаемую форму решения (4.32) уравнение (4.30) и разделяя переменные, получаем



    Отсюда следует, что функция должна быть найдена из решения уравнения

    , (4.34)

    а для функции получаем задачу на собственные значения

    (4.35)

    Здесь условие периодичности функции является следствием периодичности искомого решения по угловой переменной с периодом .

    Задача (4.35) имеет нетривиальные периодические решения только при , Эти решения имеют вид

    (4.36)

    где и - произвольные постоянные.

    Из (4.34) для функции при получаем уравнение

    (4.37)

    Будем искать частные решения этого уравнения в виде степенной функции , . Подставив эту функцию в уравнение (4.37):



    устанавливаем, что показатель степени определяется из уравнения т. е. .

    Следовательно, уравнение (4.41) имеет следующие два линейно независимых решения: и .

    Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограниченно в центре круга при . Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь ,

    Таким образом, согласно (4.37) частные решения уравнения (4.35) можно записать так:



    В силу линейности и однородности уравнения (4.35) суперпозиция частных решений

    (4.38)

    также будет удовлетворять этому уравнению.

    Выполняя граничные условия (4.31), получаем



    или

    (4.38)

    Расположим функцию в интервале в тригонометрический ряд Фурье:

    (4.39)

    Приравняв коэффициенты в рядах Фурье (4.38) и (4.39), находим

    (4.40)



    Таким образом, решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в круге представимо в виде ряда (4.38) с коэффициентами, определяемыми формулами (4.39).

    Задачи Дирихле и Неймана в круге. Из найденного решения третьей краевой задачи могут быть получены решения задач Дирихле и Неймана.

    Если положить , а , то краевая задача (4.30) переходит в задачу Дирихле, а её решение представимо рядом (4.38) с коэффициентами

    ; ; .

    Это решение можно записать в форме

    . (4.41)

    Если же в задаче (4.29) положить , то получим задачу Неймана для круга. В этом случае

    ;

    а формула (4.40) для коэффициента устанавливает условие (???) разрешимости задачи Неймана

    .

    Поэтому решение задачи Неймана имеет вид

    . (4.42)

    Замечание. Если в формулах (4.41) и (4.42) значение считать равным , то они будут определять решение внешних для круга задач Дирихле и Неймана.

    Интеграл Пуассона. Получим иную форму записи решения задачи Дирихле для круга. Для этого преобразуем решение (4.46), подставляя в него значения коэффициентов и ,

    (4.43)

    Замечая, что

    ,

    находим



    .

    Так как , то, вычислив суммы геометрических прогрессий, получим





    Подставляя найденное значение в уравнение (4.43), получаем решение задачи Дирихле для круга в форме

    (4.44)

    Интеграл в правой части формулы (4.44) называют интегралом Пуассона для круга.

    Внешняя краевая задача.

    Для решения внешней краевой задачи (4.29) необходимо положить коэффициент и выбрать решение в виде , т. к. решение внешней задачи должно быть ограниченно на .

    Тогда частные решения задачи примут вид:

    , (4.45)

    а общее решение запишется в виде:

    . (4.46)

    Аналогично задачи Дирихле внутри круга, для внешней задачи, используя граничные условия, получаем коэффициенты:

    ; ; (4.47)

    а решение внешней задачи Дирихле примет вид:

    (4.48)

    Решение внешней краевой задачи можно представить как интеграл Пуассона:

    (4.49)

    Задача Дирихле в кольце. Приведем теперь решение задачи Дирихле в кольце, внутренняя граница которого есть окружность радиуса , а внешняя – окружность радиуса . Эту задачу можно записать следующим образом:

    ; (4.50)

    . (4.51)

    Представляя решение уравнения (4.50) в форме (4.32), придем к задаче на собственные значения (4.34) для функции и к решению в интервале уравнения (4.36).

    Общее решение уравнения (4.36) имеет вид

    (4.52)

    Здесь в отличие от задачи для круга нужно сохранить оба слагаемых, так как точка находится вне кольца.

    Поэтому с учетом формул (4.35) и (4.52) частные решения уравнения (4.50) можно записать в виде



    Здесь ; ; ; - произвольные постоянные.

    Функция , определяется как суперпозиция этих частных решений:

    , (4.53)

    будет удовлетворять линейному однородному уравнению (4.50).

    Подставив (4.53) в граничные условия (4.51), получим

    (4.54)

    Эти соотношения представляют собой разложение заданных функций и в тригонометрические ряды Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье этих функций:



    Тогда из уравнений (4.54) находим







    Так как и , то эти системы однозначно разрешимы:

    ; ;

    ; ;

    ; .

    Подставляя значения этих коэффициентов в уравнение (4.53), получаем решение задачи Дирихле в кольце.

    4. Рассмотрим физическую природу и свойства объемного, логарифмического и поверхностного потенциалов. Для этого воспользуемся электростатической аналогией.

    Пусть в некоторой точке помещен заряд . Потенциал поля, создаваемого этим зарядом в точке равен:



    Далее предположим, что заряд распределен в области непрерывным образом с плотностью . Определим потенциал поля, создаваемого этим зарядом в точке . Для этого разобьем объем на элементарные области . Также предложим, что заряд, рассредоточенный в элементарном объеме , можно считать точечным. Тогда имеем:



    Выполняя интегрирование в последнем выражении, имеем:

      (4.55)
    которое совпадает с первым слагаемым в (4.15).

    Интеграл (5.???????) однозначно определен, если точка не принадлежит области . В противном случае этот интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция при обращается в бесконечность, т.е. имеет особенность.

    Укажем простейшие свойства объемного потенциала:

    1. Если функция непрерывна и ограничена в объеме , то объемный потенциал непрерывен во всем пространстве;

    2. Если функция непрерывна и ограничена в объеме , то объемный потенциал имеет непрерывные частные производные первого порядка во всем пространстве.

    3. Если функция непрерывна и ограничена в области , то вне области объемный потенциал (5.????????) удовлетворяет уравнению Лапласа:



    а внутри области - уравнению Пуассона



    Индекс у оператора Лапласа обозначает в нашем случае дифференцирование по переменным .

    Пусть далее заряд в пространстве распределен «плоскопараллельным» образом, т. е. закон его распределения зависит только от и . Потенциал создаваемого этим полем заряда, очевидно, не зависит от координаты и задачу можно считать плоской.

    Пусть помещенный на плоскости заряд является точечным. В пространстве задача определения поля, создаваемого этим зарядом, эквивалентна поиску потенциала бесконечно длинной равномерно заряженной с линейной плотностью нити. Потенциал исследуемого поля равен:



    Рассмотрим более общий случай, когда заряд непрерывно распределен в некоторой области с плотностью . Как и при введении объемного потенциала, разобьем поверхность на элементарные площадки . Будем предполагать, что внутри каждой их площадок заряд можно считать точечным. Тогда потенциал, создаваемый зарядами, находящимися внутри элементарной площадки, равен:



    Выполняя интегрирование в последнем выражении, получаем:

      (4.56)
    Нетрудно заметить, что выражение логарифмического потенциала (4.56) в точности совпадает с (4.18).

    Как и объемный потенциал, логарифмический потенциал определен однозначно, если точка лежит вне поверхности . Однако, имеется одно существенное отличие. Если точка удалена от на бесконечно большом расстоянии, то логарифмический потенциал имеет особенность, связанную с неопределенностью в вычислении логарифма.

    Если точка лежит внутри , то интеграл (4.56) является несобственным, а подынтегральная функция имеет особенность при .

    Можно показать, что для логарифмического потенциала также справедливы свойства, указанные для объемного потенциала. В частности, если функция непрерывна и ограничена в области , то логарифмический потенциал (4.56) удовлетворяет внутри уравнению Пуассона:



    в вне - уравнению Лапласа:



    Здесь

    Если электрический заряд с объемной плотностью расположен в небольшом слое толщиной около поверхности , а поле исследуется на расстоянии много большем учет толщины поверхности не имеет смысла. По этой причине вместо объемного потенциала целесообразно рассматривать поверхностный потенциал.

    Рассмотрим поле, создаваемое зарядами, распределенными по поверхности. Потенциал этого поля выражается через поверхностную плотность заряда и равен:

      (4.57)
    Потенциал (5.48) носит название потенциалапростогослоя.

    Другим типом поверхностного потенциала является потенциал двойного слоя. Рассмотрим диполь, образованный двумя зарядами и , расположенными в точках и в окрестности поверхности . Введем дипольный момент



    этой системы зарядов. Здесь - расстояние между точками и .

    Потенциал диполя в некоторой точке может быть найден на основе принципа суперпозиции:

      (4.58)
    Здесь Пусть точка удовлетворяет условиям: Выбирая на отрезке некоторую среднюю точку, перепишем (4.58) в виде

      (4.59)
    Вычисляя в (4.59) производную по направлению , получаем:



    Теперь рассмотрим две поверхности и , находящиеся друг от друга на малом расстоянии . Пусть на этих поверхностях распределены заряды и с поверхностной плотностью В этом случае дипольный момент также оказывается распределенным с некоторой поверхностной плотностью .

    В частности, дипольный момент элемента поверхности оказывается равным

    .

    Тогда, в соответствии с (4.59), потенциал зарядов элемента поверхности в точке оказывается равным

      (4.60)
    Здесь - нормаль к элементу , проведенная в точке . Направление нормали эквивалентно направлению для системы двух зарядов.

    Используя принцип суперпозиции, проинтегрируем (4.60). В результате получим:

      (4.61)
    Знак “ – ” соответствует случаю, когда внутренняя сторона поверхности заряжена отрицательно, а внешняя – положительно.

    Величина (4.61) совпадает с (5.????????) и называется потенциаломдвойногослоя.

    Потенциал двойного слоя в некоторой точке терпит разрыв и удовлетворяет соотношениям:

      (4.62)
    Здесь - предельное значение потенциала двойного слоя при подходе к точке с внутренней стороны, а - предельное значение с наружной стороны.

    В отличие от потенциала двойного слоя потенциал простого слоя разрыв на поверхности не испытывает, однако терпит разрыв производная на нормали:

      (4.63)
    Здесь - поверхностная плотность заряда, а - интеграл вида:



    где - плотность дипольного момента в некоторой фиксированной точке , принадлежащей поверхности .
    написать администратору сайта